Empat kubus padat dengan Panjang rusuk sama $a$ memiliki massa $m_0$, $2m_0$, $3m_0$, dan $4m_0$. Keempat kubus mengalami pengaruh medan gravitasi seragam $g$. Semua kubus dapat berada tepat di atas lantai atau diatur sedemikian rupa menjadi susunan vertikal sebuah kubus di atas kubus lain. Sebuah konfigurasi didefinisikan sebagai tatanan kubus dalam suatu susunan dan dinyatakan sebagai urutan nilai massanya (dari bawah ke atas) dalam setiap tumpukan. Tinggi pusat massa kubus pada posisi ke-$k$ dari bawah dalam suatu tumpukan adalah $(k – \frac12)a$. Potensial gravitasi dipilih bernilai nol pada lantai.

1. Tentukan jumlah total konfigurasi yang berbeda. (4 poin)
2. Turunkan rumusan umum energi potensial gravitasi untuk satu tumpukan dengan massa sembarang $m_1$, $m_2$, .., $m_k$. (3 poin)
3. Hitung total energi untuk (3 poin)
   • Semua kubus berada pada tumpukan terpisan pada lantai
   • Satu tumpukan dengan urutan massa bertambah dari bawah
   • Satu tumpukan dengan urutan massa berkurang dari bawah

a1 (4 poin)

• (0.5 poin) 1 tumpukan
  • (4): 4! = 24
• (1 poin) 2 tumpukan
  • (3 + 1): $\binom{4}{3} \cdot$ 3! = 4 · 6 = 24
  • (2 + 2): $\frac12 \binom{4}{2} \cdot$ (2!)$^2$ = 3 · 4 = 12
• (1 poin) 3 tumpukan:
  • (2 + 1 + 1): $\binom{4}{2} \cdot$ 2! = 6 · 2 = 12
• (0.5 poin) 4 tumpukan:
  • (1 + 1 + 1 + 1): 1
• (1 poin) $N_{\rm total}$ = 24 + (24 + 12) + 12 + 1 = 73

a2 (3 poin)

• (3 poin) Untuk sebuah tumpukan dengan massa $m_1$, $m_2$, $\dots$, $m_k$ (dari bawah ke atas) $$ E = \sum_{i = 1}^4 m_i g (i - \tfrac12) a $$ adalah energi pontensial gravitasinya.

a3 (3 point)

• (1 poin) Keempat kubus berada pada tumpukannya masing-masing $$ E = \frac{ag}{2}(m_0 + 2m_0 + 3m_0 + 4m_0) = 5m_0ga $$
• (1 point) Satu tumpukaan dengan urutan massa bertambah dari bawah ($m_0 \rightarrow 4m_0$) $$ E = \frac{m_0ga}{2}(1 + 6 + 15 + 28) = 25m_0ga $$
• (1 poin) Satu tumpukaan dengan urutan massa berkurang dari bawah ($4m_0 \rightarrow m_0$) $$ E = \frac{m_0ga}{2}(4 + 9 + 10 + 7) = 15m_0ga $$

notes

• There is related notes 26e20 .