Suatu sistem partikel tersusun dari $N$ partikel tak-terbedakan dengan $N \gg 1$. Partikel-partikel yang tidak saling berinteraksi terdistribusi pada empat tingkat energi tak-terdegenerasi $E_n = n^2 \epsilon$, $n = 0, 1, 2, 3$. Bilangan okupasi $n_i$ memenuhi $\sum_{i=0}^3 n_i = N$.

1. Tentukan jumlah keadaan mikro $\Omega$ yang terkait dengan suatu konfigurasi $(n_0, n_1, n_2, n_3)$. Dengan menggunakan aproksimasi Stirling, turunkan ungkapan untuk entropi $S$ sebagi fungsi dari $n_i$. (3 poin)
2. Maksimumkan entropi untuk total partikel dan total energi, dan tunjukkan bahwa pada keadaan kesetimbangan bilangan okupasi memenuhi $n_i \approx e^{-\beta E_i}$, serta tentukan konstanta proporsionalnya. (3 poin)
3. Definisikan fungsi partikel tunggal $Z_i$ dengan menghitungnya secara eksplisit dan dapat aproksimasinya untuk temperatur tinggi dan temperatur rendah. (4 poin)

a1 (3 poin)

• (1 poin) Jumlah keadaan mikro untuk partikel yang tak-terbedakan dan tingkat energi yang tak-tergenerasi terkait dengan bilangan okupasi $(n_0, n_1, n_2, n_3)$ adalah $$ \Omega = \frac{N!}{n_0! n_1! n_2! n_3!}. $$
• (1 poin) Formula Boltzmann untuk entropi $S = k_B \ln \Omega$. Untuk $N \gg 1$ aproksimasi Stirling $\ln n! = n \ln n - n + O(\ln n)$ memberikan $$ \ln \Omega = N \ln N - \sum_{i = 0}^3 n_i \ln n_i + O(\ln N). $$
• (1 poin) Entropi sistem partikel $$ S \approx -k_B \sum_{i = 0}^3 n_i \ln \left( \frac{n_i}{N} \right). $$

a2 (3 poin)

• (0.5 poin) Syarat untuk memaksimumkan entropi $$ \sum_i n_i = N, \ \ \ \ \sum_i n_i E_i = U. $$
• (0.5 poin) Penerapan multiplier Lagrange $\alpha$ dan $\beta$ $$ \delta \left[ S - \alpha \left( \sum_i n_i - N \right) - \beta \left( \sum_i n_i E_i - U \right) \right] = 0. $$
• (1 poin) Dengan menggunakan $\frac{\partial S}{\partial n_i} = -k_B \ln \left( \frac{n_i}{N} \right)$ dapat diperoleh $$ -k_B \ln \left( \frac{n_i}{N} \right) - \alpha - \beta E_i = 0, $$ yang pada akhirnya memberikan $$ n_i = N e^{-\alpha/k_B} e^{-\beta E_i/k_B}. $$
• (1 poin) Konstanta proporsionalnya adalah $$ N = e^{-\alpha/k_B}. $$

a3 (4 poin)

• (1 poin) Dengan mendefinisikan fungsi partisi partikel tunggal $$ Z_1 = \sum_{i = 0}^3 e^{-\beta E_i/k_B} $$ yang dengan normalisasi akan memberikan. $$ n_i = \frac{N}{Z_1} e^{-\beta E_i / k_B}. $$
• (1 poin) Dengan $E_n = n^2 \epsilon$ dapat diperoleh $$ Z_1 = \sum_{i = 0}^3 e^{-\beta n^2 \epsilon} = 1 + e^{-\beta \epsilon} + e^{-4\beta \epsilon} + e^{-9\beta \epsilon}. $$
• (1 poin) Limit temperatur rendah ($\beta \epsilon \gg 1$) $$ Z_1 = 1 + e^{-\beta \epsilon} + O(e^{-4\beta \epsilon}). $$
• (1 poin) Limit temperatur tinggi ($\beta \epsilon \ll 1$) akan memberikan $$ Z_1 = 4 - 14\beta\epsilon + 49(\beta\epsilon)^2 + O((\beta\epsilon)^3), $$ yang diperoleh dengan ekspansi $$ e^{-\beta n^2 \epsilon} = 1 - \beta n^2 \epsilon + \frac{(\beta n^2 \epsilon)^2}{2} + \dots $$ dan $$ \sum_{i = 0}^3 1 = 4, \ \ \ \ \sum_{i = 0}^3 n^2 = 14, \ \ \ \ \sum_{i = 0}^3 n^4 = 98. $$

notes

• There is related note 26e22 .